Umwandlung der Ebenengleichungen

Übersicht: Umwandlung von Ebenengleichungen

In diesem Kapitel lernst du, wie du eine Ebene zwischen verschiedenen Darstellungsformen umwandeln kannst. Die wichtigsten Formen sind:

• Parameterform: $\vec{x} = \vec{a} + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}$
• Normalenform: $(\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$
• Koordinatenform: $ax + by + cz = d$

Umwandlungsmöglichkeiten

Die folgende Matrix zeigt dir auf einen Blick, welche Ebenenform du direkt in welche andere Form umwandeln kannst. Klicke auf einen Eintrag, um direkt zum Beispiel mit Rechnung zu springen:

Legende:
✓ Möglich = Direkte Umwandlung möglich
↻ Indirekt = Umwandlung über eine Zwischenform erforderlich
— = Gleiche Form

Direkt: Parameterform → Normalenform

Gegeben: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

Schritt 1: Berechne den Normalenvektor durch das Kreuzprodukt:

$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) \\ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-1) - 0 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix}$

Schritt 2: Setze in die Normalenform ein mit Punkt $\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$:

Lösung: $E: \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix} = 0$

Indirekt: Parameterform → Koordinatenform

Gegeben: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

Schritt 1: Zuerst zur Normalenform (wie oben): $\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix}$

Schritt 2: Ausmultiplizieren:

$\left(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix} = 0$

$(x - 1) \cdot 1 + (y - 2) \cdot (-3) + (z - 3) \cdot (-2) = 0$

$x - 1 - 3y + 6 - 2z + 6 = 0$

Lösung: $E: x - 3y - 2z = -11$

Indirekt: Normalenform → Parameterform

Gegeben: $E: \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = 0$

Schritt 1: Normalenvektor ablesen: $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$, Punkt: $\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

Schritt 2: Finde zwei Richtungsvektoren senkrecht zu $\vec{n}$

Methode: Ein Vektor $\vec{u}$ ist senkrecht zu $\vec{n}$, wenn gilt: $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$

Ersten Richtungsvektor $\vec{u}$ finden:

Setze $\vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$. Bedingung: $2a - b + 3c = 0$

Trick: Setze eine Komponente auf 0, z.B. $c = 0$:

$2a - b + 3 \cdot 0 = 0 \Rightarrow 2a - b = 0 \Rightarrow b = 2a$

Wähle $a = 1$, dann $b = 2$: $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

Probe: $2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 = 2 - 2 + 0 = 0$ ✓

Zweiten Richtungsvektor $\vec{v}$ finden:

Setze diesmal eine andere Komponente auf 0, z.B. $b = 0$:

$2a - 0 + 3c = 0 \Rightarrow 2a = -3c \Rightarrow a = -\frac{3}{2}c$

Wähle $c = -2$, dann $a = -\frac{3}{2} \cdot (-2) = 3$: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$

Probe: $2 \cdot 3 + (-1) \cdot 0 + 3 \cdot (-2) = 6 + 0 - 6 = 0$ ✓

Hinweis: Die beiden Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ dürfen nicht parallel zueinander sein. Prüfe dies über das Kreuzprodukt: Ergibt $\vec{u} \times \vec{v} \neq \vec{0}$, sind sie nicht parallel. Ist das Kreuzprodukt der Nullvektor, wähle einen der Vektoren neu.

Check: $\vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix} \neq \vec{0}$ ✓

Lösung: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$

Direkt: Normalenform → Koordinatenform

Gegeben: $E: \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = 0$

Schritt 1: Ausmultiplizieren:

$\left(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = 0$

$(x - 2) \cdot 3 + (y - 1) \cdot (-2) + (z + 1) \cdot 4 = 0$

$3x - 6 - 2y + 2 + 4z + 4 = 0$

Lösung: $E: 3x - 2y + 4z = 0$

Indirekt: Koordinatenform → Parameterform

Gegeben: $E: 2x - 3y + z = 6$

Schritt 1: Zuerst zur Normalenform: $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$, Punkt: $\vec{p} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Schritt 2: Finde zwei Richtungsvektoren senkrecht zu $\vec{n}$

Bedingung: $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ bzw. $2a - 3b + c = 0$

Ersten Richtungsvektor $\vec{u}$ finden:

Setze $c = 0$: $2a - 3b = 0 \Rightarrow 2a = 3b \Rightarrow a = \frac{3}{2}b$

Wähle $b = 2$, dann $a = 3$: $\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

Probe: $2 \cdot 3 + (-3) \cdot 2 + 1 \cdot 0 = 6 - 6 + 0 = 0$ ✓

Zweiten Richtungsvektor $\vec{v}$ finden:

Setze diesmal $a = 0$: $-3b + c = 0 \Rightarrow c = 3b$

Wähle $b = 1$, dann $c = 3$: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

Probe: $2 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 0 - 3 + 3 = 0$ ✓

Lösung: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

Direkt: Koordinatenform → Normalenform

Gegeben: $E: 2x - 3y + z = 6$

Schritt 1: Normalenvektor ablesen: $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

Schritt 2: Einen Punkt der Ebene finden (z.B. setze $y = 0, z = 0$):

$2x = 6 \Rightarrow x = 3$, also $\vec{p} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Lösung: $E: \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = 0$